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By G Cauchon, Societe mathematique de France J Alev

Résumé :
La septième rencontre du touch Franco-Belge s'est tenue à Reims, du 26 au 30 juin 1995. Cette rencontre avait pour yet l'exposition de développements récents dans plusieurs domaines connexes où une étude algébrique, souvent non commutative, s'avère nécessaire.

On trouvera ainsi dans ces actes grab articles répartis en trois events : treize présentent des résultats récents et trois sont des exposés de sort ``survey'' rédigés à l. a. demande des éditeurs par les spécialistes des sujets correspondants.

Dans une première partie, on trouvera cinq articles sur les développements récents au sujet de certains problèmes et thèmes classiques ; dans une deuxième partie, on trouvera cinq articles sur les algèbres de Hopf, les groupes quantiques et leurs représentations ; enfin, dans une troisième partie, on trouvera six articles sur l. a. théorie des invariants et los angeles théorie des représentations.

Abstract:
The 7th assembly of the touch Franco-Belge used to be held in Reims, June 26 to 30, 1995. The objective of assembly was once the presentation of modern advances in different similar components, during which a non commutative algebraic technique, seems to be necessary.

These court cases comprise 16 papers in 3 components: 13 on fresh effects and 3 survey reports.

The first half comprises 5 articles on new growth approximately classical difficulties; within the moment half, there are 5 papers on Hopf algebras, quantum teams and their representations; finally, within the 3rd half, you'll discover six papers on invariant conception and on illustration idea.

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The ramification of an element of Br(U ) can be viewed as 1 an element of Het (R, ‫ޑ‬/‫ )ޚ‬and we want to understand when, conversely, an element 1 of Het (R, ‫ޑ‬/‫ )ޚ‬can be lifted to one of Br(U ). To state the main result we need a few Séminaires et Congrès 2 Division Algebras on ‫ސ‬2 Ramified Along a Smooth Elliptic Curve 49 notions from the theory of etale cohomology. We state these in the least generality possible. Let C be a smooth projective curve and let D be an effective divisor on C. Then associated to D there is a map ψD which is the composition 1 Het (C, ‫ޚ‬/n) → H 1 (D, ‫ޚ‬/n) → H 1 (k, ‫ޚ‬/n) The first arrow is the restriction map (inverse image), and the last arrow is the trace map (direct image) [1].

We now assume that L is not tangent to R. The fact that we can do this follows from the hypotheses that k is of characteristic zero and hence is “big enough”. It follows that D is smooth over k. Using the compatibility with restriction of the isomorphism given by purity and the Leray spectral sequence yields a commutative diagram where the vertical arrows are restriction maps. 9) H 1 (R, ‫ޚ‬/n) −−−−→ H 1 (k, H 2 (Yk¯ , µn )) = H 1 (k, ‫ޚ‬/n)     H 1 (D, ‫ޚ‬/n) −−−−→ H 1 (k, H 2 (Lk¯ , µn )) = H 1 (k, ‫ޚ‬/n) We claim that the restriction map ‫ޚ‬/n = H 2 (Yk¯ , µn ) → H 2 (Lk¯ , µn ) = ‫ޚ‬/n is an isomorphism.

Furthermore in [15] it is shown that if R is smooth then D is similar to a tensor product of three cyclic algebras. Finally, with R still smooth, it has been shown in [11] (under considerably weaker hypotheses on k) that D is cyclic if its period is 5 or 7. 3 — Let D be a central division algebra over K(‫ސ‬2k ) and let R be its ramification locus. Assume that deg R = 3. Then the following holds 1. 4) D∼ = k(x, y; yx = ωxy) where ω is a root of unity. 2. 5) D∼ = K(S)(x, τ )H where – S is an unramified cyclic covering of R (hence in particular S is an elliptic curve).

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