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By Otto Forster

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Example text

Verschieden durchlaufen. Da ϕ : [α, β] → [a, b] stetig und bijektiv ist, tritt genau einer der beiden folgenden F¨alle auf: 1) ϕ ist auf [α, β] streng monoton wachsend. Man nennt die Parametertransformation dann orientierungstreu. 2) ϕ ist auf [α, β] streng monoton fallend. Dann heißt ϕ orientierungsumkehrend. Ist ϕ eine C 1 -Parametertransformation, so ist ϕ (t) = 0 f¨ur alle t ∈ [α, β], denn aus ϕ−1 ◦ ϕ = id folgt mit der Kettenregel (ϕ−1 ) (ϕ(t)) · ϕ (t) = 1. ϕ ist genau dann orientierungstreu, wenn ϕ (t) > 0 f¨ur alle t und orientierungsumkehrend, wenn ϕ (t) < 0 f¨ur alle t.

Nach dem Hilfssatz gibt es ein δ > 0 mit δ δ1 und folgender Eigenschaft: Hat die Unterteilung (∗) eine Feinheit δ, so gilt f (ti ) − f (ti−1) − f (ti) ti − ti−1 ε 2(b − a) f¨ur i = 1, . . , k. Daraus folgt f (ti ) − f (ti−1) − f (ti ) (ti − ti−1 ) ti − ti−1 ε · . d. 7) Sei ϕ > 0. Wir betrachten den Kreisbogen f : [0, ϕ] −→ R2 , f (t) := (cost, sint). Es gilt f (t) = (− sint, cost), also f (t) = sin2 t + cos2 t = 1. Deshalb errechnet man f¨ur die Bogenl¨ange L= Z ϕ 0 f (t) dt = Z ϕ 0 dt = ϕ. Insbesondere ist der Umfang des Einheitskreises gleich 2π.

In , wobei Iν ⊂ R abgeschlossene Intervalle sind. ,sn ) Qm 1 (s ) (s ) (s ) = I1 1 × I2 2 × . . × In n . 1). ,s ) einen der Quader Qm 1 n , der nicht von endlich vielen Uiκ u¨ berdeckt werden kann. Diesen w¨ahlen wir als Qm+1 . Es gilt diam(Qm+1 ) = 12 diam(Qm ) = 2−m−1 diam(Q). Deshalb hat Qm+1 wieder die Eigenschaften i) und ii). Nach dem Schachtelungsprinzip (§2, Satz 4) gibt es einen Punkt a, der in allen ¨ von Q ist, gilt a ∈ Ui0 f¨ur (mindestens) Qm liegt. Da (Ui )i∈I eine Uberdeckung § 3 Kompaktheit 29 einen Index i0 ∈ I.

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